Question

10．若函数f（x）对任意的实数x，均有f（x-1）+f（x+1）＞2f（x），则称函数f（x）具有性质P．
（1）判断函数y=x³是否具有性质P，并说明理由；
（2）求证：函数y=a^x（a＞0且a≠1）具有性质P；
（3）若函数f（x）具有性质P，且f（0）=f（n）=0（n＞2，n∈N^*）．
求证：对任意i∈{1，2，3，…，n-1}都有f（i）≤0．

Answer 1

分析 （1）由y=x³，举出当x=-1时，不满足f（x-1）+f（x+1）≥2f（x），即可得到结论；
（2）运用指数函数的值域和基本不等式即可得证；
（3）由于本题是任意性的证明，从正面证明比较困难，故可以采用反证法进行证明，即假设f（i）为f（1），f（2），…，f（n-1）中第一个大于0的值，由此推理得到矛盾，进而假设不成立，原命题为真．

解答 （1）解：函数f（x）=x³不具有性质P．
例如，当x=-1时，f（x-1）+f（x+1）=f（-2）+f（0）=-8，2f（x）=-2，
所以，f（-2）+f（0）＜2f（-1），
此函数不具有性质P；
（2）证明：由函数y=a^x（a＞0且a≠1），可得f（x-1）+f（x+1）=a^x-1+a^x+1
=a^x（a+a^-1）＞2a^x•$\sqrt{a•{a}^{-1}}$=2a^x=2f（x），
故函数y=a^x（a＞0且a≠1）具有性质P；
（3）证明：假设f（i）为f（1），f（2），…，f（n-1）中第一个大于0的值，
则f（i）-f（i-1）＞0，
因为函数f（x）具有性质P，
所以，对于任意n∈N^*，均有f（n+1）-f（n）≥f（n）-f（n-1），
所以f（n）-f（n-1）≥f（n-1）-f（n-2）≥…≥f（i）-f（i-1）＞0，
所以f（n）=[f（n）-f（n-1）]+…+[f（i+1）-f（i）]+f（i）＞0，与f（n）=0矛盾，
所以，对任意的i∈{1，2，3，…，n-1}有f（i）≤0．

点评 本题考查的知识点是抽象函数及其应用，指数函数和幂函数的性质，反证法，其中在证明全称命题为假命题时，举出反例是最有效，快捷，准确的方法．