题目内容
【题目】已知函数的定义域为
(1)当时,求函数
的单调递减区间.
(2)若恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)令f(x)<0解得0<x<
或
得
的单调区间.(2)法一:令g(x)=f(x)-1+sinx+
<0在
上恒成立,利用g(
)<0,求出a<-1,再对a<-1进行分类讨论.法二:变量分离,当x=0时,不等式恒成立;当
,再构造新函数,求最值即可.
(1)时
,
,解得
或
所以函数的单调递减区间是,
(2)方法一
,
则只需在
时恒成立,
则 所以
因为,所以
1)当时,
,
单调递减,
,符合题意
2)当时,存在
,
使得
,
①时,
,
单调递减,
,符合题意;
②时,
,
单调递增,
时
取得最大值;
因为,所以
所以
令,其中
则,
单调递增,
,所以
,
时
,符合题意;
③时,
,
单调递减;
,符合题意。
所以的取值范围是
方法二:
即
当时,不等式恒成立
当时,只需
成立
令,则
令
则
所以当时
,
单调递减
当时
,
单调递增
又因为,
结合单调性可知时
,
时
即时
单调递减,
单调递增。
时,
取得最小值
所以的取值范围是
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