题目内容
【题目】设命题p:实数x满足 <0,其中a>0,命题q:实数x满足
.
(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围;
(2)若¬p是¬q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
【答案】
(1)解:命题p:a=1时,由 <0,化为:(x﹣1)(x﹣3)<0,解得1<x<3.
命题q:实数x满足 ,
化为: ,解得
,解得2<x<3.
∵p∧q为真,∴ ,解得2<x<3.
∴实数x的取值范围是(2,3)
(2)解:由(1)可得:命题q:实数x满足:2<x<3.
命题p:实数x满足 <0,其中a>0,化为(x﹣a)(x﹣3a)<0,解得a<x<3a.
∵¬p是¬q的充分不必要条件,
∴q是p的充分不必要条件,
∴ ,且等号不能同时成立,解得1≤a≤2.
∴实数a的取值范围是[1,2]
【解析】(1)命题p:a=1时,由 <0,化为:(x﹣1)(x﹣3)<0,解出即可得出.命题q:实数x满足
,化为:
,解得x范围.由p∧q为真,可得命题p与q都为真命题.(2)由(1)可得:命题q:实数x满足:2<x<3.命题p:实数x满足
<0,其中a>0,化为(x﹣a)(x﹣3a)<0,解得x范围.由¬p是¬q的充分不必要条件,可得q是p的充分不必要条件,即可得出.
【考点精析】解答此题的关键在于理解复合命题的真假的相关知识,掌握“或”、 “且”、 “非”的真值判断:“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反;“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真,其他情况时为假;“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假,其他情况时为真.
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