题目内容
【题目】已知椭圆
以
，
为左右焦点，且与直线
：
相切于点
.
（1）求椭圆的方程及点的坐标；
（2）若直线
：
与椭圆交于
两点，且交于点
（异于点），求证：线段长
，
，
成等比数列.
【答案】(1) 
(2)见解析
【解析】
(1) 设椭圆方程为
，联立椭圆和直线
的方程可得
，由相切条件可得
,从而得到椭圆的方程及点
的坐标；
(2) 联立直线与
的方程解得
点为
，由弦长公式
，联立椭圆与直线的方程，消去
得
，可得
，
，从而可证线段长
，
，
成等比数列.
（1）由题意，设椭圆方程为 ，联立椭圆和直线的方程
消去
得
所以
，
化简得
，由
知，
，所以椭圆方程为
.
将代回原方程组，解得切点的坐标为.
（2）联立直线与的方程
解得点为，
又因为
，
由弦长公式
得，所以
.
设
，
，联立椭圆与直线的方程，
，消去得，
，得
则
，
又因为
，
，
所以
所以线段长，，成等比数列.
【题目】随着电商的快速发展，快递业突飞猛进，到目前，中国拥有世界上最大的快递市场.某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过
的包裹收费10元；重量超过的包裹，除收费10元之外，每超过（不足，按计算）需再收5元.
该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：
包裹重量（单位： | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
包裹件数 | 43 | 30 | 15 | 8 | 4 |
公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：
包裹件数范围 | 0~100 | 101~200 | 201~300 | 301~400 | 401~500 |
包裹件数（近似处理） | 50 | 150 | 250 | 350 | 450 |
天数 | 6 | 6 | 30 | 12 | 6 |
以上数据已做近似处理，并将频率视为概率.
（1）计算该公司未来5天内恰有2天揽件数在101~300之间的概率；
（2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；
②根据以往的经验，公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用.目前前台有工作人员3人，每人每件揽件不超过150件，日工资100元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，若你是公司老总，是否进行裁减工作人员1人？
