题目内容
【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数,
),以原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)写出曲线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)已知点是曲线
上一点,若点
到曲线
的最小距离为
,求
的值.
【答案】(1) ,
;(2)
或
.
【解析】试题分析:(1)消去参数得到
的普通方程为
.利用
可以把
的极坐标方程化为直角坐标方程.
(2)把的直角方程转化为参数方程,利用点到直线的距离公式算出距离为
,利用
得到
.因为直线与椭圆是相离的,所以
或
,分类讨论就可以得到
相应的值.
解析:(1)由曲线的参数方程,消去参数
,可得
的普通方程为:
.
由曲线的极坐标方程得
, ∴曲线
的直角坐标方程为
.
(2)设曲线上任意一点
为
,
,则点
到曲线
的距离为
.∵
, ∴
,
,
当时,
,即
;
当时,
,即
.∴
或
.

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