题目内容

等比数列{a_n} 中，a₁，a₂，a₃分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a₁，a₂，a₃中的任何两个数不在下表的同一列．
第一列第二列第三列
第一行 3 2 10
第二行 6 4 14
第三行 9 8 18
（Ⅰ）求数列{a_n} 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 {b_n} 满足 $数学公式$ ，记数列 {b_n} 的前n项和为S_n，证明 $数学公式$ ．

解：（I）当a₁=3时，不合题意；
当a₁=2时，当且仅当a₂=6，a₃=18时，符合题意；
当a₁=10时，不合题意．…（4分）（只要找出正确的一组就给3分）
因此a₁=2，a₂=6，a₃=18，
所以公比q=3，…（4分）
故 $\text{[math]}$ ．…（6分）
（II）因为 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ …（9分）
所以S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n…（10分）
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ …（12分）
= $\text{[math]}$ ，
故 $\text{[math]}$ ．…（14分）
分析：（I）当a₁=3时，不合题意；当a₁=2时，当且仅当a₂=6，a₃=18时，符合题意；当a₁=10时，不合题意．因此a₁=2，a₂=6，a₃=18，由此能求出数列{a_n} 的通项公式．
（II）因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，由此利用裂项求和法能够证明 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查数列的通项公式和数列前n项和的求法，考查不等式的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意裂项求和法的合理运用．