Question

已知等比数列{a_n}中，a₁=0，a_n+1=

1

2-an

．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，证明：S_n＜n-ln（n+1）；
（Ⅲ）设b_n=a_n（

9

10

）ⁿ，证明：对任意的正整数n、m，均有|b_n-b_m|＜

3

5

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将已知变形，整理，转化成等差数列解决．
（Ⅱ）S_n无法进一步化简，且原不等式为超越不等式，考虑借助于函数的单调性证明．
（Ⅲ）研究数列{b_n}的单调性，寻求最大项与最小项，或任两项差的绝对值变化情况．

解答：解：（Ⅰ）因为 

1

an+1-1

=

1

1 2-an - 1

=

2-an

an-1

=-1+

1

an-1

                                          
所以 

1

an- 1

=

1

a1- 1

+ (n-1)•(-1)所以  an=1-

1

n

 
（Ⅱ）设F（x）=ln（x+1）-x（x＞0）
  则F(X)=

1

1+X

- 1=

-X

X+1

＜0
故F（x）＜F（0）=0   ln（x+1）＜x，
ln（1+

1

n

） ＜

1

n

   所以1-ln（1+

1

n

）＞1-

1

n

所以a_n=1-

1

n

＜1-ln（n+1）+lnn
所以S_n＜（1-ln2+ln1）+（1-ln3+ln2）+…+[1-ln（n+1）+lnn]=n-ln（n+1）
（Ⅲ）由已知  

bn

bn+1

=

n-1

n

×

n+1

n

×

10

9

=

n2- 1

n2

×

10

9

当

bn

bn+1

＞1时，n＞

10

，n≥4；当 

bn

bn+1

＜1时，n≤3，
所以b₁＜b₂＜b₃＜b₄＞b₅＞b₆＞…
又因为     n≥2，b_n＞0，b₁=0
所以对任意的正整数n、m，均有|b_n-b_m|的最大值为
 b4-b1=

3

4

×(

9

10

)4 -0=

19683

40000

＜

24000

40000

 =

3

5

所以对任意的正整数n、m，均有|b_n-b_m|＜

3

5

．

点评：本题考查等差数列的定义，数列的函数性质，不等式的证明方法-放缩法，要求具有较强的分析，解决，转化，计算等能力．