Question

在等比数列{a_n}中，已知对n∈N*有a₁+a₂+…+a_n=2ⁿ-1，那么

a

2 1

+

a

2 2

+…+

a

2 n

等于（　　）

• A．4ⁿ-1
• B．

  1

  3

  (4n-1)
• C．

  1

  3

  (2n-1)2
• D．（2ⁿ-1）²

Answer 1

分析：利用“n=1时，a₁=S₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”即可得到a_n，进而得到数列{

a

2 n

}是等比数列，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答：解：设等比数列{a_n}的公比为q，
∵S_n=a₁+a₂+…+a_n=2ⁿ-1，
∴当n≥2时，S_n-1=a₁+a₂+…+a_n-1=2^n-1-1，
∴a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1．
∴

a 2 n

a 2 n-1

=

(2n-1)2

(2n-2)2

=4．
a₁=2¹-1=1，a₁+a₂=2²-1，
解得a₂=2，

a 2 2

a 2 1

=4．
∴数列{

a

2 n

}是等比数列，首项为1，公比为4．
∴

a

2 1

+

a

2 2

+…+

a

2 n

=

4n-1

4-1

=

1

3

(4n-1)．
故选B．

点评：本题考查了利用“n=1时，a₁=S₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”求a_n、等比数列的定义、等比数列的前n项和公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．