Question

16．不等式$\frac{3{x}^{2}+2x+2}{{x}^{2}+x+1}$≥m对任意实数x都成立，求自然数m的值．

Answer 1

分析 由x²+x+1＞0恒成立，可得原不等式即为（3-m）x²+（2-m）x+2-m≥0恒成立．当3-m=0，即m=3时，不等式可化为-x-1≥0对任意实数x不都成立，故不满足题意；当m≠3时，y=（3-m）x²+（2-m）x+2-m的图象是抛物线，它的函数值要非负，则开口向上且与x轴没有交点或一个交点．

解答 解：由x²+x+1＞0恒成立，可得原不等式即为
（3-m）x²+（2-m）x+2-m≥0恒成立．
当3-m=0，即m=3时，不等式可化为-x-1≥0对任意实数x不都成立，故不满足题意；
当m≠3时，y=（3-m）x²+（2-m）x+2-m的图象是抛物线，它的函数值要非负，
则开口向上且与x轴没有交点或一个交点．
∴$\left\{\begin{array}{l}{3-m＞0}\\{△=（2-m）^{2}-4（3-m）（2-m）≤0}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＜3}\\{m≥\frac{10}{3}或m≤2}\end{array}\right.$，
解得m≤2；
则自然数m的值为0，1，2．

点评 本题主要考查一元二次不等式的应用，解题的关键是分类讨论，将函数值非负，转化为开口向上且与x轴没有交点或一个交点．