题目内容
【题目】(1)证明:当时,
;
(2)若不等式对任意的正实数
恒成立,求正实数
的取值范围;
(3)求证: .
【答案】(1)详见解析;(2);(3)详见解析.
【解析】试题分析:
(1)结合函数的定义域可导函数的性质即可证得不等式的结论;
(2)原问题转化为 ,构造函数
,结合新函数的性质可得正实数
的取值范围是
;
(3)将不等式进行恒等变形,结合(2)的结论证得不等式成立即可.
试题解析:
(1)令函数,定义域是
,
由
,可知函数
在
上单调递减,
故当时,
,即
.
(2)因为,
,故不等式
可化为
(*),
问题转化为(*)式对任意的正实数恒成立,构造函数
,
则
,
①当时,
,
即
在
上单调递增,
所以,即不等式
对任意的正实数
恒成立.
②当时,
,因此
,
,函数
单调递减;
,
,函数
单调递增,
所以
,
,
,令
,
由(1)可知
,不合题意.
综上可得,正实数的取值范围是
.
(3)要证,即证
,
由(2)的结论令,有
对
恒成立,取
可得不等式
成立,综上,不等式
成立.
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