题目内容

19.已知F1,F2是双曲线C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|•|PF2|=8a2,且△PF1F2的最小内角为30°,则双曲线C的离心率是(  )
A.$\sqrt{2}$B.2C.$\sqrt{3}$D.3

分析 不妨设点P在双曲线右支,F1,F2分别为左,右焦点,有|PF1|-|PF2|=2a,由条件可得△PF1F2的三边,判断最小的边,从而判断三角形的形状,结合离心率公式计算即可得到.

解答 解:不妨设点P在双曲线右支,F1,F2分别为左,右焦点,
有|PF1|-|PF2|=2a,
由$|P{F_1}|•|P{F_2}|=8{a^2}$,可得|PF1|=4a,|PF2|=2a,
由|F1F2|=2c>2a知,△PF1F2的最小内角为∠PF1F2=30°,
从而△PF1F2为直角三角形,∠F1F2P=90°,
则有2c=2$\sqrt{3}$a,
此时双曲线离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$,
故选C.

点评 本题主要考查双曲线的定义,双曲线离心率的运算,对考生的运算求解能力提出较高要求.

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