Question

19．已知F₁，F₂是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF₁|•|PF₂|=8a²，且△PF₁F₂的最小内角为30°，则双曲线C的离心率是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． 3

Answer 1

分析 不妨设点P在双曲线右支，F₁，F₂分别为左，右焦点，有|PF₁|-|PF₂|=2a，由条件可得△PF₁F₂的三边，判断最小的边，从而判断三角形的形状，结合离心率公式计算即可得到．

解答 解：不妨设点P在双曲线右支，F₁，F₂分别为左，右焦点，
有|PF₁|-|PF₂|=2a，
由$|P{F_1}|•|P{F_2}|=8{a^2}$，可得|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，
由|F₁F₂|=2c＞2a知，△PF₁F₂的最小内角为∠PF₁F₂=30°，
从而△PF₁F₂为直角三角形，∠F₁F₂P=90°，
则有2c=2$\sqrt{3}$a，
此时双曲线离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，
故选C．

点评 本题主要考查双曲线的定义，双曲线离心率的运算，对考生的运算求解能力提出较高要求．