题目内容
已知点P是直角坐标平面内的动点,点P到直线x=-p |
2 |
p |
2 |
(2)直线l 过点F且与曲线C交于不同两点A、B,分别过A、B点作直线l1:x=-
p |
2 |
FM |
FN |
(3)记S1=S△FAM,S2=S△FMN,S3=S△FEN(A、B、M、N是(2)中的点),λ=
| ||
S1S3 |
分析:(1)设动点为P(x,y),依据题意,有|x+
+1|-
=1,化简得y2=2px,由此能求出动点P所在曲线C的方程.
(2)由题意可知,当过点F的直线l(3)的斜率为0时,不合题意,故设直线l:x=my-1,联立方程
,可化为y2-2mpy-p2=0,再由韦达定理进行求解.
(3)依据x1+x2=m(y1+y2)+p=2m2p+p,x1x2=
•
=
,知S1S3=
(x1+
)|y1|•
(x2+
)|y2|=
•[x1x2+
(x1+x2)+
]=
p4(m2+1),
=(
|y1-y2|•p)2=
[(y1+y2)2-4y1y2]=p4(1+m2).由此能得到λ 的值.
p |
2 |
(x-
|
(2)由题意可知,当过点F的直线l(3)的斜率为0时,不合题意,故设直线l:x=my-1,联立方程
|
(3)依据x1+x2=m(y1+y2)+p=2m2p+p,x1x2=
| ||
2p |
| ||
2p |
p2 |
4 |
1 |
2 |
p |
2 |
1 |
2 |
p |
2 |
p2 |
4 |
p |
2 |
p2 |
4 |
1 |
4 |
S | 2 2 |
1 |
2 |
p2 |
4 |
解答:
解 (1)设动点为P(x,y),(1分)
依据题意,有|x+
+1|-
=1,化简得y2=2px.(4分)
因此,动点P所在曲线C的方程是:y2=2px.(6分)
(2)由题意可知,当过点F的直线l(3)的斜率为0时,不合题意,
故可设直线l:x=my-1,如图所示.(8分)
联立方程组
,可化为y2-2mpy-p2=0,
则点A(x1,y1)、B(x2,y2)的坐标满足
.(10分)
又AM⊥l1、BN⊥l1,可得点M(-
,y1)、N(-
,y2).
于是,
=(-p,y1),
=(-p,y2),
因此
•
=(-p,y1)•(-p,y2)=p2+y1y2=0.(12分)
(3)依据(2)可算出x1+x2=m(y1+y2)+p=2m2p+p,x1x2=
•
=
,
则S1S3=
(x1+
)|y1|•
(x2+
)|y2|=
•[x1x2+
(x1+x2)+
]=
p4(m2+1),
=(
|y1-y2|•p)2=
[(y1+y2)2-4y1y2]=p4(1+m2).(16分)
所以,λ=
=4即为所求.(18分)
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依据题意,有|x+
p |
2 |
(x-
|
因此,动点P所在曲线C的方程是:y2=2px.(6分)
(2)由题意可知,当过点F的直线l(3)的斜率为0时,不合题意,
故可设直线l:x=my-1,如图所示.(8分)
联立方程组
|
则点A(x1,y1)、B(x2,y2)的坐标满足
|
又AM⊥l1、BN⊥l1,可得点M(-
p |
2 |
p |
2 |
于是,
FM |
FN |
因此
FM |
FN |
(3)依据(2)可算出x1+x2=m(y1+y2)+p=2m2p+p,x1x2=
| ||
2p |
| ||
2p |
p2 |
4 |
则S1S3=
1 |
2 |
p |
2 |
1 |
2 |
p |
2 |
p2 |
4 |
p |
2 |
p2 |
4 |
1 |
4 |
S | 2 2 |
1 |
2 |
p2 |
4 |
所以,λ=
| ||
S1S3 |
点评:本题考查直线 和圆锥曲线的位置关系的综合运用,解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件.
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