Question

已知点P是直角坐标平面内的动点，点P到直线x=-

p

2

-1（p是正常数）的距离为d₁，到点F(

p

2

，0)的距离为d₂，且d₁-d₂=1．
（1）求动点p所在曲线C的方程
（2）直线l过点F且与曲线C交于不同两点A、B，分别过A、B点作直线l₁：x=-

p

2

的垂线，对应的垂足分别为M、N，求证：FM⊥FN．

Answer 1

分析：（1）设动点为P（x，y），利用d₁-d₂=1，可得方程，化简可得结论；
（2）设直线l的方程与抛物线联立，利用韦达定理及向量的数量积，可得结论．

解答：（1）解：设动点为P（x，y），（1分）
依据题意，有|x+

p

2

+1|-

(x- p 2 )2+y2

=1，化简得y²=2px．           （4分）
因此，动点P所在曲线C的方程是：y²=2px．                                        …（6分）
（2）证明：由题意可知，当过点F的直线l的斜率为0时，不合题意，故可设直线l：x=my+

p

2

．    （8分）
联立方程组

y2=2px x=my+ p 2

，可化为y²-2mpy-p²=0，
则点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）的坐标满足

y1+y2=2mp y1y2=-p2

．                （10分）
又AM⊥l₁、BN⊥l₁，可得点M(-

p

2

，y1)、N(-

p

2

，y2)．
于是，

FM

=(-p，y1)，

FN

=(-p，y2)，
因此

FM

•

FN

=(-p，y1)•(-p，y2)=p2+y1y2=0．                     （12分）

点评：本题考查轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，属于中档题．