Question

已知点P是直角坐标平面内的动点，点P到直线l₁：x=-2的距离为d₁，到点F（-1，0）的距离为d₂，且

d2

d1

=

2

2

．
（1）求动点P所在曲线C的方程；
（2）直线l过点F且与曲线C交于不同两点A、B（点A或B不在x轴上），分别过A、B点作直线l₁：x=-2的垂线，对应的垂足分别为M、N，试判断点F与以线段MN为直径的圆的位置关系（指在圆内、圆上、圆外等情况）；
（3）记S₁=S_△FAM，S₂=S_△FMN，S₃=S_△FBN（A、B、M、N是（2）中的点），问是否存在实数λ，使S₂²=λS₁S₃成立．若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
进一步思考问题：若上述问题中直线l1：x=-

a2

c

、点F（-c，0）、曲线C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0，c=

a2-b2

)，则使等式S₂²=λS₁S₃成立的λ的值仍保持不变．请给出你的判断

 

 （填写“不正确”或“正确”）（限于时间，这里不需要举反例，或证明）．

Answer 1

分析：（1）设动点为P（x，y），依据题意，有

(x+1)2+y2

|x+2|

=

2

2

，由此能求出动点P所在曲线C的方程．
（2）点F在以MN为直径的圆的外部．理由：由题意可知，当过点F的直线l的斜率为0时，不合题意，故可设直线l：x=my-1，联立方程组

x2 2 +y2=1 x=my-1

，可化为（2+m²）y²-2my-1=0，则点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）的坐标满足

y1+y2= 2m 2+m2 y1y2=- 1 2+m2

．由此能推导出∠MFN为锐角，即点F在以MN为直径的圆的外部．
（3）由x1+x2=m(y1+y2)-2=-

4

2+m2

，x1x2=(my1-1)(my2-1)=

2-2m2

2+m2

，知S1S3=

1

2

(x1+2)|y1|•

1

2

(x2+2)|y2|=

1

4

•

1

2+m2

[x1x2+2(x1+x2)+4]=

1

2

1+m2

(2+m2)2

，

S

2 2

=(

1

2

|y1-y2|•1)2=

1

4

[(y1+y2)2-4y1y2]=2

1+m2

(2+m2)2

．由此知存在实数λ=4使得结论成立．

解答：解：（1）设动点为P（x，y），（1分）
依据题意，有

(x+1)2+y2

|x+2|

=

2

2

，化简得

x2

2

+y2=1．（3分）　因此，动点P所在曲线C的方程是：

x2

2

+y2=1．（4分）
（2）点F在以MN为直径的圆的外部．
理由：由题意可知，当过点F的直线l的斜率为0时，不合题意，故可设直线l：x=my-1，
如图所示．（5分）
联立方程组

x2 2 +y2=1 x=my-1

，可化为（2+m²）y²-2my-1=0，
则点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）的坐标满足

y1+y2= 2m 2+m2 y1y2=- 1 2+m2

．（7分）
又AM⊥l₁、BN⊥l₁，可得点M（-2，y₁）、N（-2，y₂）．
点与圆的位置关系，可以比较点到圆心的距离与半径的大小来判断，也可以计算点与直径形成的张角是锐角、直角、钝角来加以判断．
因

FM

=(-1，y1)，

FN

=(-1，y2)，则

FM

•

FN

=(-1，y1)•(-1，y2)=1+y1y2=

1+m2

2+m2

＞0．（9分）
于是，∠MFN为锐角，即点F在以MN为直径的圆的外部．（10分）
（3）依据（2）可算出x1+x2=m(y1+y2)-2=-

4

2+m2

，x1x2=(my1-1)(my2-1)=

2-2m2

2+m2

，
则S1S3=

1

2

(x1+2)|y1|•

1

2

(x2+2)|y2|=

1

4

•

1

2+m2

[x1x2+2(x1+x2)+4]=

1

2

1+m2

(2+m2)2

，

S

2 2

=(

1

2

|y1-y2|•1)2=

1

4

[(y1+y2)2-4y1y2]=2

1+m2

(2+m2)2

．（14分）
所以，S₂²=4S₁S₃，即存在实数λ=4使得结论成立．（15分）
对进一步思考问题的判断：正确．（18分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．