题目内容
已知点P是直角坐标平面内的动点,点P到直线的距离为d1,到点F(– 1,0)的距离为d2,且.
(1) 求动点P所在曲线C的方程;
(2) 直线过点F且与曲线C交于不同两点A、B(点A或B不在x轴上),分别过A、B点作直线的垂线,对应的垂足分别为,试判断点F与以线段为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况);
(3) 记,,(A、B、是(2)中的点),问是否存在实数,使成立.若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
【答案】
20.(1) 设动点为
依据题意,有,化简得.
即为动点P所在曲线C的方程。·························································· 3分
(2) 点F在以MN为直径的圆的外部.
理由:由题意可知,当过点F的直线的斜率为0时,不合题意,故可设直线:,如图所示.联立方程组,可化为,则点、的坐标满足.
又、,可得点、.
因,,则=.
于是,为锐角,即点F在以MN为直径的圆的外部.······················· 10分
(3) 依据 (2) 可算出,,
则 ,
.
所以,,即存在实数使得结论成立.······························· 12分
【解析】略
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