题目内容
【题目】已知点是函数
的图象上的一点,等比数列
的前
项和为
,数列
的首项为
,且前
项和
满足:
.
(1)求数列,
的通项公式;
(2)若数列的通项
,求数列
的前
项和
;
(3)若数列的前项和为
,是否存在最大的整数
,使得对任意的正整数n,均有
总成立?若成立,求出t;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);
;(2)
;(3)存在最大的整数
,使得对任意的正整数n,均有
总成立
【解析】
(1)先求出,然后求出
,利用数列
为等比数列,可求得
,从而可求得数列
的通项公式;利用
,可求得数列
是一个首项为1公差为1的等差数列,从而可求得
的通项公式,进而可得
的通项公式;
(2)利用错位相减法求数列的前
项和
;
(3)利用裂项法知,,于是可求得
,可得不等式
恒成立,转化为最值求得
的范围,进而可得最大的整数
.
解:(1),故
,
,
,
,
又数列为等比数列,
,
,又公比
,
;
,
又,
;
∴数列构成一个首项为1公差为1的等差数列,
,于是
;
当;
;
(2)由(1)知,
,
,
两式相减得:
;
(3),
,
因为总成立,即
总成立,
对任意的正整数n均成立,
又,
,得
,
故存在最大的整数,使得对任意的正整数n,均有
总成立.
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