题目内容
【题目】设分别是椭圆
的左、右焦点,过
且斜率不为零的直线
与椭圆
交于
两点,
的周长为
(1)求椭圆的方程
(2)是否存在直线,使得
为等腰直角三角形?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由
【答案】(1);(2)不存在,见解析.
【解析】
(1)根据焦点坐标得,
的周长为
,即
,即可解得椭圆
的方程;
(2)分别讨论将作为等腰直角三角形的斜边和直角边(即底边和腰)的情况,即可得出矛盾.
(1)由题椭圆的焦点坐标,所以
,
的周长为
,即
,
,
,
所以椭圆的方程为;
(2)不存在,理由如下:
当为底边时,
,根据椭圆对称性,此时直线垂直于
轴,其方程
,
此时,
,
所以不垂直,即
为底边时等腰
顶角不为直角,所以不是等腰直角三角形;
当为腰时,必有
,
假设为等腰直角三角形,不妨设
为直角顶点,设
,
则,在
中,由勾股定理,
,
即,解得:
,此时
,
与矛盾,所以不是等腰直角三角形,
综上所述,不存在直线,使得
为等腰直角三角形
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