题目内容

已知数列{a_n}满足a₁= $数学公式$ ，a_n= $数学公式$ （n≥2，n∈N）．
（1）试判断数列 $数学公式$ 是否为等比数列，并说明理由；
（2）设b_n= $数学公式$ ，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）设c_n=a_nsin $数学公式$ ，数列{c_n}的前n项和为T_n．求证：对任意的n∈N^*，T_n＜ $数学公式$ ．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
又∵ $\text{[math]}$ ，
∴数列 $\text{[math]}$ 是首项为3，公比为-2的等比数列．
（2）依（1）的结论有 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ．
b_n=（3•2^n-1+1）²=9•4^n-1+6•2^n-1+1．
$\text{[math]}$ ．
（3）∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
当n≥3时，
则 $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．
∵T₁＜T₂＜T₃，
∴对任意的n∈N^*， $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据题意，对 $\text{[math]}$ 进行变形可得 $\text{[math]}$ ，从而证得结论；
（2）根据（1）求出数列a_n，从而求得b_n，利用分组求和法即可求得结果；
（3）首先确定出数列{c_n}的通项公式，利用放缩的思想将数列的每一项进行放缩，转化为特殊数列的求和问题达到证明不等式的目的．
点评：本题考查数列的递推公式确定数列的思想，根据递推公式确定出数列是否满足特殊数列的定义，考查学生的转化与化归思想．第（3）问考查学生的不等式放缩的技巧与方法，关键要将数列{c_n}的每一项进行放缩转化为特殊数列从而达到求和证明的目的，属难题．