Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，两个顶点分别为，．过点的直线交椭圆于，两点，直线与的交点为．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)求证：点在一条定直线上．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）由已知得a=2．e==，由此能求出a，b；

（2）设直线A1M的方程为y=k1（x+2），直线A2N的方程为y=k2（x﹣2）．联立方程组，得点M的坐标为（，），同理，点N（，）．由M，D，N三点共线，得k2=3k1，由此能证明点G恒在定直线x=4上．

(1)由椭圆两个顶点分别为，题设可知

因为，即，所以．

又因为，所以．

所以，所求的椭圆的标准方程为.

(2)由题意知，直线与直线的斜率存在，故设直线的方程为，直线的方程为．

联立方程组，消去y得，

解得点．同理，解得点.

由M，D，N三点共线，有，化简得．

由题设可知与同号，所以．

联立方程组，解得交点．将代入点G的横坐标，

得．所以，点G恒在定直线上．