Question

11．已知数列{a_n}满足：a₁=a₂=1，且a_n²+a_n-1a_n+1=4a_n-1a_n（n∈N^*，n≥2）．
（I）令b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$（n∈N^*），求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）通过计算出数列{a_n}前几项的值，猜想通项公式，进而利用数学归纳法证明即可；
（Ⅱ）通过（I）可知数列{a_n}的通项公式，进而分类讨论即得结论．

解答 解：（I）∵a₁=a₂=1，且a_n²+a_n-1a_n+1=4a_n-1a_n（n∈N^*，n≥2），
∴a₃=4-1=3，a₄=12-9=3，a₅=$\frac{36-9}{3}$=9，a₆=$\frac{12×9-{9}^{2}}{3}$=9，
猜想：a_2n-1=a_2n=3^n-1．
下面用数学归纳法来证明：
①当n=1时，显然命题成立；
②假设当n=k（k≥2）时，a_2k-1=a_2k=3^k-1，
则a_2k+1=$\frac{4{a}_{2k-1}{a}_{2k}-{{a}_{2k}}^{2}}{{a}_{2k-1}}$=$\frac{4•{3}^{k-1}•{3}^{k-1}-{3}^{k-1}•{3}^{k-1}}{{3}^{k-1}}$=3^k，
a_2k+2=$\frac{4{a}_{2k}{a}_{2k+1}-{{a}_{2k+1}}^{2}}{{a}_{2k}}$=$\frac{4•{3}^{k-1}•{3}^{k}-{3}^{k}•{3}^{k}}{{3}^{k-1}}$=3^k，
即当n=k+1时，命题成立；
由①②可知，a_2n-1=a_2n=3^n-1．
∴b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\left\{\begin{array}{l}{1，}&{n为奇数}\\{3，}&{n为偶数}\end{array}\right.$（n∈N^*）；
（Ⅱ）由（I）可知，a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{\frac{n-1}{2}}，}&{n为奇数}\\{{3}^{\frac{n-2}{2}}，}&{n为偶数}\end{array}\right.$，
∴当n为偶数时，S_n=2•$\frac{1-{3}^{\frac{n}{2}}}{1-3}$=${3}^{\frac{n}{2}}$-1；
当n为奇数时，S_n=S_n+1-a_n+1=2•$\frac{1-{3}^{\frac{n+1}{2}}}{1-3}$-${3}^{\frac{n-1}{2}}$=${3}^{\frac{n+1}{2}}$-${3}^{\frac{n-1}{2}}$-1；
综上所述，S_n=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{\frac{n+1}{2}}-{3}^{\frac{n-1}{2}}-1，}&{n为奇数}\\{{3}^{\frac{n}{2}}-1，}&{n为偶数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查数学归纳法，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题．