Question

18．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴上，点A（a，1）在抛物线上，且|FA|=2
（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）与圆x²+（y+1）²=1相切的直线l：y=kx+t交抛物线于不同的两点M，N若抛物线上一点C满足$\overrightarrow{OC}$=λ（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$）（λ＞0），求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （I）利用抛物线的定义及其标准方程即可得出；
（II）直线与圆相切，可得圆心到直线的距离等于半径可得：k²=t²+2t．把直线方程代入抛物线方程并整理得：x²-4kx-4t=0，利用△＞0，可得t的取值范围．设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用根与系数的关系、向量坐标运算可得点C的坐标，代入抛物线方程解出即可．

解答 解：（I）设抛物线方程为2py，
∵|FA|=$1+\frac{p}{2}$=2，
解得p=2．
∴抛物线的标准方程为 x²=4y．
（II）∵直线与圆相切，
∴$\frac{|1+t|}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$=1，化为k²=t²+2t．
把直线方程代入抛物线方程并整理得：x²-4kx-4t=0，
由△=16k²+16t=16（t²+2t）+16t＞0，
解得t＞0或t＜-3．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x₁+x₂=4k，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2t=4k²+2t，
由$\overrightarrow{OC}$=λ（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$）=λ（x₁+x₂，y₁+y₂）=（4kλ，（4k²+2t）λ），
得 C（4kλ，（4k²+2t）λ），
∵点C在抛物线x²=4y上，
∴16k²λ²=4（4k²+2t）λ，
化为λ=$1+\frac{t}{2{k}^{2}}$=$1+\frac{t}{2{t}^{2}+4t}$=1+$\frac{1}{2t+4}$，
∵t＞0或t＜-3，
∴2t+4＞4 或2t+4＜-2，
∴λ的取值范围为$（\frac{1}{2}，1）$∪$（1，\frac{5}{4}）$．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得△＞0及其根与系数的关系、向量坐标运算、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题