Question

3．抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，A、B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=60°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则$\frac{|MN|}{|AB|}$的最大值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|²=（a+b）²-3ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．

解答 解：设|AF|=a，|BF|=b，
由抛物线定义，得AF|=|AQ|，|BF|=|BP|
在梯形ABPQ中，∴2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由余弦定理得，
|AB|²=a²+b²-2abcos60°=a²+b²-ab
配方得，|AB|²=（a+b）²-3ab，
又∵ab≤（$\frac{a+b}{2}$） ²，
∴（a+b）²-3ab≥（a+b）²-$\frac{3}{4}$（a+b）²=$\frac{1}{4}$（a+b）²
得到|AB|≥$\frac{1}{2}$（a+b）．
∴$\frac{|MN|}{|AB|}$≤1，即$\frac{|MN|}{|AB|}$的最大值为1．
故选C．

点评 本题着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题．