Question

在三棱锥V-ABC中，底面△ABC是以∠ABC为直角的等腰三角形．又V在底面ABC上的射影H在线段AC上且靠近点C，AC=4，VA=

14

，VB和底面ABC所成的角为45°．
（Ⅰ）求点V到底面ABC的距离；
（Ⅱ）求二面角V-AB-C的大小的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据条件可知VH⊥底面ABC，连BH，设BH=VH=h，O为AC的中点，在Rt△ABC中，求出OB，在Rt△OBH中，求出OH，在Rt△VAH中，利用勾股定理建立等式，即可求出h，得到所求；
（Ⅱ）过H作HM⊥AB于M，连接VM，根据二面角的平面角的定义可知∠VMH为二面角V-AB-C的平面角，最后在三角形VMH中求出此角的正切值．

解答：解：（Ⅰ）∵V在底面ABC上的射影H在线段AC上且靠近点C，
∴VH⊥底面ABC．连BH，则∠VBH=45°．设BH=VH=h，O为AC的中点，
则BO⊥AC，BO⊥OH．∴在Rt△ABC中，OB=

1

2

AC=2．在Rt△OBH中，OH=

h2-22

．
在Rt△VAH中，h2+(

h2-22

+2)2=(

14

)2，解得h=

5

．故点V到底面ABC的距离为

5

．
（Ⅱ）∵h=

5

，∴OH=

h2-22

=1．过H作HM⊥AB于M，连接VM，则∠VMH为二面角V-AB-C的平面角．
∵HM=

3

4

BC=

3

4

×2

2

=

3 2

2

，∴tan∠VMH=

5

3 2 2

=

10

3

．

点评：本题考查立体几何的距离问题和二面角大小的问题．考查考生的运算能力及空间关系的理解能力．