Question

如图，在三棱锥V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC=BC=2，VC=

2

．
（1）求证：平面VAB⊥平面VCD；
（2）求二面角V-AB-C的大小；
（3）求点C到平面VAB的距离．

Answer 1

分析：（1）三棱锥V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，以CA为x轴，以CB为y轴，以CV为z轴，建立空间直角坐标系，由此能够证明AB⊥平面VCD，故平面VAB⊥平面VCD．
（2）由AB⊥平面VCD，知∠VDC是二面角V-AB-C的平面角，由此能求出二面角V-AB-C的大小．
（3）先求出平面VAB的法向量

n

=(1，1，

2

)，利用向量法能够求出点C到平面VAB的距离．

解答：（1）证明：∵三棱锥V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，
∴以CA为x轴，以CB为y轴，以CV为z轴，建立空间直角坐标系，
∵D是AB的中点，且AC=BC=2，VC=

2

，
∴V（0，0，

2

），A（2，0，0），B（0，2，0），D（1，1，0），C（0，0，0）
∴

CD

=(1，1，0)，

AB

=(-2，2，0)，

CV

=(0，0，

2

)，
∴

AB

•

CD

=-2+2+0=0，

AB

•

CV

=0+0+0=0，
故AB⊥CD，AB⊥CV，
∴AB⊥平面VCD，
∵AB?平面VAB，
∴平面VAB⊥平面VCD．
（2）解：由（1）知AB⊥平面VCD，
∴∠VDC是二面角V-AB-C的平面角，
∵AC=BC=2，VC=

2

，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，
∴VC=CD=

2

，VC⊥CD，
∴∠VDC=

π

4

，
故二面角V-AB-C的大小为

π

4

．
（3）解：∵V（0，0，

2

），A（2，0，0），B（0，2，0），C（0，0，0），
∴

VA

=(2，0，-

2

)，

VB

=(0，2，-

2

)，

CV

=（0，0，

2

），
设平面VAB的法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n

•

VA

=0，

n

•

VB

=0，
∴

2x- 2 z=0 2y- 2 z=0

，解得

n

=(1，1，

2

)，
∴点C到平面VAB的距离d=

| n • CV |

| n |

=

|0+0+2|

2

=1．

点评：本题考查平面垂直的证明，考查二面角大小的求法，考查点到平面的距离的求法．解题时要认真审题，注意等价转化思想和向量法的合理运用．