Question

已知椭圆的离心率为，且两个焦点和短轴的一个端点是一个等腰三角形的顶点．斜率为的直线过椭圆的上焦点且与椭圆相交于，两点，线段的垂直平分线与轴相交于点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求的取值范围；

（Ⅲ）试用表示△的面积，并求面积的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意可得，，，

又，

可得．

所以椭圆方程为．

   （Ⅱ）设直线的方程为，

由可得．

设，

则，．

可得．

设线段中点为，则点的坐标为，

由题意有，

可得．

可得，

又，

所以．

（Ⅲ）设椭圆上焦点为，

则.

，

由，可得．

所以．

又，

所以.

所以△的面积为（）．

设，

则．

可知在区间单调递增，在区间单调递减．

所以，当时，有最大值．

所以，当时，△的面积有最大值．