Question

若不等式|x+1|+|x-3|≥a+

4

a

对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：不等式|x+1|+|x-3| ≥a+

4

a

对任意的实数x恒成立转化为a+

4

a

小于等于函数y=|x+1|+|x-3|的最小值，根据绝对值不等式的几何意义可知函数y=|x+1|+|x-3|的最小值为4，因此原不等式转化为分式不等式的求解问题．

解答：解：令y=|x+1|+|x-3|，由绝对值不等式的几何意义可知函数y=|x+1|+|x-3|的最小值为4，
∵不等式|x+1|+|x-3| ≥a+

4

a

对任意的实数x恒成立
∴原不等式可化为a+

4

a

≤4
解得a=2或a＜0
故答案为：（-∞，0）∪{2}．

点评：考查绝对值不等式的几何意义，把恒成立问题转化为求函数的最值问题，体现了转化的思想方法，属中档题．