题目内容

(考生注意:请在下列二题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评阅记分.)
(A)(选修4-4坐标系与参数方程)曲线
x=cosα
y=a+sinα
(α为参数)与曲线ρ2-2ρcosθ=0的交点个数为
 
个.
(B)(选修4-5不等式选讲)若不等式|x+1|+|x-3| ≥a+
4
a
对任意的实数x恒成立,则实数a的取值范围是
 
分析:(A)把参数方程化为普通方程,把极坐标方程化为直角坐标方程,根据两圆的圆心距大于两圆的半径之差小于两圆的半径之和,即可得到两圆是相交的位置关系.
(B)构造函数y=|x+1|+|x-3|,根据绝对值的几何意义,我们易得到函数的值域,根据不等式|x+1|+|x-3| ≥a+
4
a
对任意的实数x恒成立,则ymin>a+
4
a
,我们可以构造关于a的不等式,进而得到a的取值范围.
解答:解:(A)由题设知:把参数方程消去参数化为普通方程得 x2+(y-1)2=1,
把极坐标方程化为直角方程得 x2+y2-2x=0,即(x-1)2+y2=1;
两圆心距为
2
,且 0=1-1<
2
<1+1=2
,故两圆相交,故有2个公共点.
故答案为 2.
(B)令y=|x+1|+|x-3|≥4
若不等式|x+1|+|x-3| ≥a+
4
a
对任意的实数x恒成立,
则ymin=4≥a+
4
a

即a∈(-∞,0)∪{2}
故答案为:(-∞,0)∪{2}
点评:本题主要考查了参数方程化直角坐标方程,以及绝对值不等式的应用,属于中档题.
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