题目内容

1．长时间用手机上网严重影响着学生的健康，某校为了解A，B两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周手机上网时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．如果学生平均每周手机上网的时长超过21小时，则称为“过度用网”．
（Ⅰ）请根据样本数据，分别估计A，B两班的学生平均每周上网时长的平均值；
（Ⅱ）从A班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度用网”的概率；
（Ⅲ）从A班、B班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度用网”的学生人数为ξ，写出ξ的分布列和数学期望Eξ．

分析 （Ⅰ）求出A，B班样本数据的平均值，估计A，B两班的学生平均每周上网时长的平均值；
（Ⅱ）从A班的样本数据中有放回地抽取2个数据，为“过度用网”的概率是$\frac{1}{3}$，从而求恰有1个数据为“过度用网”的概率；
（Ⅲ）确定ξ的取值，求出相应的概率，即可写出ξ的分布列和数学期望Eξ．

解答 解：（Ⅰ）A班样本数据的平均值为$\frac{1}{6}$（9+11+13+20+24+37）=19，
由此估计A班学生每周平均上网时间19小时；
B班样本数据的平均值为$\frac{1}{6}$（11+12+21+25+27+36）=22，
由此估计B班学生每周平均上网时间22小时．                  …（2分）
（Ⅱ）因为从A班的6个样本数据中随机抽取1个的数据，为“过度用网”的概率是$\frac{1}{3}$，
所以从A班的样本数据中有放回的抽取2个的数据，恰有1个数据为“过度用网”的概率为P=${C}_{2}^{1}•\frac{1}{3}•\frac{2}{3}$═．                                    …（5分）
（Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4．
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{2}{C}_{6}^{2}}$=$\frac{2}{25}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{2}+{C}_{4}^{2}{C}_{3}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{2}{C}_{6}^{2}}$=$\frac{26}{75}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{3}^{2}+{C}_{4}^{2}{C}_{3}^{2}+{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{2}{C}_{6}^{2}}$=$\frac{31}{75}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{3}^{2}{C}_{3}^{1}+{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{2}{C}_{6}^{2}}$=$\frac{11}{75}$，P（ξ=4）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{2}{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{75}$．
ξ的分布列是：

ξ01234
P$\frac{2}{25}$$\frac{26}{75}$$\frac{31}{75}$$\frac{11}{75}$$\frac{1}{75}$
Eξ=0×$\frac{2}{25}$+1×$\frac{26}{75}$+2×$\frac{31}{75}$+3×$\frac{11}{75}$+4×$\frac{1}{75}$=$\frac{5}{3}$．            …（13分）

点评 本题考查了平均数计算公式及概率计算，离散型随机变量的概率分布及期望值的求解，读懂茎叶图的数据是关键．

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