题目内容
9．已知正项等比数列{bn}（n∈N+）中，公比q＞1，b3+b5=40，b3b5=256，an=log2bn+2．（1）求证：数列{an}是等差数列；
（2）若cn=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，求数列{cn}的前n项和Sn．
分析 （1）通过b3+b5=40，b3b5=256解得q=2，进而可得结论；
（2）通过对cn=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$分离分母，并项相加即可．
解答 （1）证明：由题可知设数列首项b1＞0，
∵b3+b5=40，b3b5=256，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}{q}^{2}+{b}_{1}{q}^{4}=40}\\{{b}_{1}{q}^{2}{b}_{1}{q}^{4}=256}\end{array}\right.$，
解得q=2或q=$\frac{1}{2}$（舍），
又∵b3+b5=40，即${b}_{1}{q}^{2}+{b}_{1}{q}^{4}$=40，
∴b1=$\frac{40}{{q}^{2}（1+{q}^{2}）}$=$\frac{40}{4×（1+4）}$=2，
∴bn=2×2（n-1）=2n，
∴an=log2bn+2=n+2，
∴数列{an}是以3为首项、1为公差的等差数列；
（2）解：∵cn=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+3}$，
∴Sn=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$…+$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+3}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{n+3}$=$\frac{n}{3n+9}$．
点评 本题考查数列的通项及求和问题，涉及到对数的运算等知识，利用并项相消法是解决本题的关键，属于中档题．
练习册系列答案
快捷英语周周练系列答案
相关题目
17．在一次突击检查中，某质检部门对某超市A、B、C、D，共4个品牌的食用油进行了检测，其中A品牌抽检到2个不合格的批次，另外三个品牌均各抽检到1个批次．
（1）若从这这4个品牌共5个批次的食用油中任选3个批次进行某项检测，求抽取的3个批次的食用油至少有一个是A品牌的概率．
（2）若对这4个品牌共5个批次的食用油进行综合检测，其检测结果如下（综合评估满分为10分）：
若检测的这5个批次食用油得分的平均值为a，从这5个批次中随机抽取2个，记这2个批次食用油中得分超过a的个数为ξ．求ξ的分布列及数学期望．
（1）若从这这4个品牌共5个批次的食用油中任选3个批次进行某项检测，求抽取的3个批次的食用油至少有一个是A品牌的概率．
（2）若对这4个品牌共5个批次的食用油进行综合检测，其检测结果如下（综合评估满分为10分）：
| 品牌 | A1 | A2 | B | C | D |
| 得分 | 8 | 8 | 8.8 | 9.6 | 9.8 |
4．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x，0≤x≤\frac{1}{2}}\\{2-2x，\frac{1}{2}＜x≤1}\end{array}\right.$，定义f1（x）=f（x），f2（x）=f（2x），…，fn（x）=f（2n-1x），若直线y=k（x+1）与曲线y=f4（x）在x∈[0，1]上恰有16个交点，则k的取值范围是（ ）
| A． | 0＜k＜$\frac{7}{15}$ | B． | 0＜k＜$\frac{8}{15}$ | C． | 0＜k＜$\frac{15}{31}$ | D． | 0＜k＜$\frac{16}{31}$ |
长时间用手机上网严重影响着学生的健康，某校为了解A，B两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周手机上网时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．如果学生平均每周手机上网的时长超过21小时，则称为“过度用网”．
18．如图1，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，动点M，N，Q分别在线段AD1，B1C，C1D1上，当三棱锥Q-BMN的俯视图如图2所示，三棱锥Q-BMN正视图的面积等于（ ）
| A． | $\frac{1}{2}{a}^{2}$ | B． | $\frac{1}{4}$a2 | C． | $\frac{\sqrt{2}}{4}{a}^{2}$ | D． | $\frac{\sqrt{3}}{4}$a2 |