题目内容

15．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0}）的左顶点为（-$\sqrt{5}$，0），其离心率等于$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点O关于直线x+y-2=0的对称点为F，以F为圆心，经过F2的圆记为F，经过原点的直线l交椭圆和圆F所得的弦长分别为m，n，求当mn取最大值时，直线l的方程．

分析 （I）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{5}}\\{\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{5}}{5}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（II）F1（-2，0），F2（2，0）．设点O关于直线x+y-2=0的对称点为F（s，t），利用垂直平分线的性质可得：F（2，2）．可得⊙F的方程为：（x-2）2+（y-2）2=4．
设直线l的方程为：y=kx，与椭圆相交于点M（x1，y1），N（x2，y2）；与⊙F相交于G，H．与椭圆方程联立可得：${x}_{M}^{2}$=$\frac{5}{1+{5k}^{2}}$，${y}_{M}^{2}$=$\frac{5{k}^{2}}{1+5{k}^{2}}$，可得|MN|2=4（${x}_{M}^{2}$+${y}_{M}^{2}$）．圆心F到直线l的距离d=$\frac{|2k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，可得|GH|2=4（R2-d2）．可得（mn）2=$\frac{640k}{1+5{k}^{2}}$，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（I）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{5}}\\{\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{5}}{5}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得$a=\sqrt{5}$，c=2，b=1．
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{5}+{y}^{2}=1$．
（II）F1（-2，0），F2（2，0）．
设点O关于直线x+y-2=0的对称点为F（s，t），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{t}{s}=1}\\{\frac{s}{2}+\frac{t}{2}-2=0}\end{array}\right.$，解得s=t=2．
∴F（2，2）．
|FF2|=2．
∴⊙F的方程为：（x-2）2+（y-2）2=4．
设直线l的方程为：y=kx，（k＞0）．与椭圆相交于点M（x1，y1），N（x2，y2）；与⊙F相交于G，H．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+5{y}^{2}=5}\end{array}\right.$，解得${x}_{M}^{2}$=$\frac{5}{1+{5k}^{2}}$，${y}_{M}^{2}$=$\frac{5{k}^{2}}{1+5{k}^{2}}$，
∴|MN|2=4（${x}_{M}^{2}$+${y}_{M}^{2}$）=4（$\frac{5}{1+{5k}^{2}}$+$\frac{5{k}^{2}}{1+5{k}^{2}}$）=$\frac{20（1+{k}^{2}）}{1+5{k}^{2}}$．
圆心F到直线l的距离d=$\frac{|2k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∴|GH|2=4（R2-d2）=4$（4-\frac{（2k-2）^{2}}{{k}^{2}+1}）$=$\frac{32k}{1+{k}^{2}}$．
∴（mn）2=$\frac{20（1+{k}^{2}）}{1+5{k}^{2}}$×$\frac{32k}{1+{k}^{2}}$=$\frac{640k}{1+5{k}^{2}}$=$\frac{640}{\frac{1}{k}+5k}$$≤\frac{640}{2\sqrt{5}}$=64$\sqrt{5}$，当且仅当k=$\frac{\sqrt{5}}{5}$时取等号．
∴直线l的方程为：y=$\frac{\sqrt{5}}{5}x$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、圆的性质、两点之间的距离公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

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