Question

4．如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN=3NC，AM与BN相交于点P，求AM：PM的值．

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{BM}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{CN}$=$\overrightarrow{{e}_{2}}$，以$\overrightarrow{{e}_{2}}$和$\overrightarrow{{e}_{1}}$为基底分别表示出$\overrightarrow{AM}$与$\overrightarrow{BN}$，根据向量共线，求出$\overrightarrow{AP}$与$\overrightarrow{AM}$的关系即可．

解答 解：设$\overrightarrow{BM}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{CN}$=$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
则$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{CM}$=-4$\overrightarrow{{e}_{2}}$-$\overrightarrow{{e}_{1}}$，
$\overrightarrow{BN}$=$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CN}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$；
∵A、P、M和B、P、N分别共线，
∴存在实数λ、μ使$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AM}$=-λ$\overrightarrow{{e}_{1}}$-4λ$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
$\overrightarrow{BP}$=μ$\overrightarrow{BN}$=2μ$\overrightarrow{{e}_{1}}$+μ$\overrightarrow{{e}_{2}}$；
∴$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{PA}$-$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{BP}$-$\overrightarrow{AP}$=（λ+2μ）$\overrightarrow{{e}_{1}}$+（4λ+μ）$\overrightarrow{{e}_{2}}$；
而$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CA}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+4$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{λ+2μ=2}\\{4λ+μ=4}\end{array}\right.$；
解得λ=$\frac{6}{7}$，μ=$\frac{4}{7}$；
∴$\overrightarrow{AP}$=$\frac{6}{7}$$\overrightarrow{AM}$，
即AP：PM=6：1．

点评 本题考查了平面向量的加法法则和共线向量定理以及平面向量基本定理的应用问题，也考查了转化思想和数形结合思想的应用问题，是综合性题目．