Question

若函数f(x)=

a•2x-2

1+2x

(a∈R)是R上的奇函数
（1）求a的值，并利用定义证明函数f（x）在R上单调递增；
（2）解不等式：f(-2)+f(log

1

2

(2x))≥0．

Answer 1

分析：（1）依题意，f（0）=0可求得a，从而可得f（x）的解析式，设x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂），化积判断符号即可结论；
（2）利用f（x）为R上的奇函数，且在R上单调递增，将f（-2）+f（log

1

2

(2x)）≥0转化为log

1

2

(2x)≥2，解之即可．

解答：解：（1）∵f（x）=

a•2x-2

1+2x

是R上的奇函数，
∴f（0）=0，解得a=2…2分
∴f（x）=

2(2x-1)

1+2x

．
证明：设x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=

2(2x1-1)

1+2x1

-

2(2x2-1)

1+2x2

…3分
=

4(2x1-2x2)

(1+2x1)(1+2x2)

…5分
∵y=2^x是R上的增函数，
∴2x1-2x2＜0，而（1+2x1）（1+2x2）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在R上单调递增…7分
（2）由f（-2）+f（log

1

2

(2x)）≥0，且f（x）是R上的奇函数可得：f（log

1

2

(2x)）≥f（2）…8分
又f（x）在R上单调递增，
∴log

1

2

(2x)≥2…9分
解得0＜x≤

1

8

…11分
∴不等式的解集是{x|0＜x≤

1

8

}…12分

点评：本题考查函数单调性的证明，考查函数奇偶性与单调性的综合应用，考查分析与推理运算能力，属于难题．