题目内容

对于函数y=f(x),如果存在区间[m,n],同时满足下列条件:①f(x)在[m,n]内是单调的;②当定义域是[m,n]时,f(x)的值域也是[m,n],则称[m,n]是该函数的“和谐区间”.若函数f(x)=
a+1
a
-
1
x
(a>0)
有“和谐区间”,则函数g(x)=
1
3
x3+
1
2
ax2+(a-1)x+5
的极值点x1,x2满足(  )
A、x1∈(0,1),x2∈(1,+∞)
B、x1∈(-∞,0),x2∈(0,1)
C、x1∈(-∞,0),x2∈(-∞,0)
D、x1∈(1,+∞),x2∈(1,+∞)
分析:易得函数在区间[m,n]是单调的,由f(m)=m,f(n)=n可得故m、n是方程ax2-(a+1)x+a=0的两个同号的实数根,由△=(a+1)2-4a2>0,解不等式即可.
解答:解:由题意可得函数f(x)=
a+1
a
-
1
x
(a>0)
在区间[m,n]上是单调的,
所以[m,n]⊆(-∞,0)或[m,n]⊆(0,+∞),则f(m)=m,f(n)=n,
故m、n是方程
a+1
a
-
1
x
=x
的两个同号的实数根,
即方程ax2-(a+1)x+a=0有两个同号的实数根,注意到mn=
a
a
=1>0,
故只需△=(a+1)2-4a2>0,解得-
1
3
<a<1,
结合a>0,可得0<a<1
又由函数g(x)=
1
3
x3+
1
2
ax2+(a-1)x+5
的极值点x1,x2
则g′(x)=x2+ax+(a-1)=0的两根为x1,x2
即x1+x2=-a<0,x1•x2=a-1<0,
故x1∈(-∞,0),x2∈(0,1)
故选:B.
点评:本题考查函数单调性的判断和一元二次方程的根的分布,以及利用导数求函数的极值问题,属中档题.
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