题目内容
如图，三棱锥
中，
，
，
，点
在平面
内的射影恰为
的重心
，M为侧棱
上一动点．
（1）求证：平面
平面
；
（2）当M为的中点时，求直线
与平面
所成角的正弦值．
（1）详见解析；（2）
．
解析试题分析：（1）证明平面平面，证明面面垂直，先证线面垂直，即证一个平面过另一个平面的垂线，本题根据面面垂直的判定定理可知在平面内找一条直线与平面
垂直，由已知
平面，可得
，由题意可知，是等腰三角形，且为重心，既得，从而得
平面，可证平面平面；（2）当M为的中点时，求直线与平面所成角的正弦值，求线面角，传统方法是找线和射影所成的角，本题找射影比较麻烦，可用向量法来求，过作
的平行线为
轴，
为
轴，
为
轴建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，求出平面的一个法向量，利用线面角的正弦值等于线和法向量所成角的余弦值即可求出直线与平面所成角的正弦值．
试题解析：（1）取中点
，连接
、
，
∵平面，∴
等腰中，为重心，∴
∴平面
∴平面平面 6分
（2）中，
∴
∵平面 ∴
∴
∴
过作的平行线为轴，为轴，为轴
建立空间直角坐标系
∴ 
设直线与平面所成角为
设平面的法向量为
∴
练习册系列答案
相关题目
中，底面
是直角梯形，
,
，
平面
，
，
,
，且
．
平面
与平面
所成二面角的大小为
，求
的值．
.
；
是以
为直径的半圆
上异于
、
的点，矩形
所在的平面垂直于半圆
.
；
和
所成的角为
，求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值.
中，
为
的中点，
，
，
．将此平面四边形
折成直二面角
，
，设
中点为
．
平面
；
上是否存在一点
，使得
平面
与平面
中,侧面
底面
,
,底面
,
,
,
．
平面
;
为侧棱
上一点，
，试确定
的值,使得二面角
为
．
的底面
为一直角梯形，侧面PAD是等边三角形，其中
，
,平面
底面
是
的中点．
//平面
；
与平面BDE所成角的余弦值；