题目内容
【题目】太极图被称为“中华第一图”．广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极鱼”．已知
或
，下列命题中：①
在平面直角坐标系中表示的区域的面积为
；②
，使得
；③
，都有
成立；④设点
，则
的取值范围是
．其中真命题的个数为（ ）
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【解析】
集合A表示的图形，分别分析选项，得到正确答案，
①根据图象，直接求判断集合A的面积是圆面积的一半；
②转化为两圆是否相交问题；
③设
，
，表示斜率为
的直线，
表示纵截距，转化为线性规划问题；
④变形为
，先求
的范围，最后求
的范围.
①如图，根据对称性可知，集合
表示的面积占圆面积的一半，
，故①不正确；
②
，整理为
，以
为圆心，
的圆，与
的圆的圆心距
，可知两圆相交，有2个交点，所以
，使得，故②正确；
③设，，表示斜率为的直线，表示纵截距，如图，当直线与圆相切时，取得最大值，此时圆心到直线的距离
，解得
或
，如图，舍去，所以
的最大值是
，如图，当直线与
相切时，取得最小值，圆心到直线的距离
，
，如图舍去
，所以的最小值是
，所以
，都有
成立，③正确；
④，
设表示可行域内的点与点
连线的斜率，
设
，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离
，解得
，如图可知
，
当直线过点
时，斜率
，其他满足条件的直线夹在这两直线之间，所以
，
，
，故④不正确.
故只有②③正确.
故选：B
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