题目内容
【题目】如图,五面体中,
,平面
平面
,平面
平面
.
,
,点P是线段
上靠近A的三等分点.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)求直线与平面
所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析 (Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)根据题意,分别取,
的中点M,N,连接
,
,
,
.
由题可知,
.设
,则
,由平面
平面
,得
平面
,同理
平面
.,从而
.,则
平面
;由
,所以
,所以
是以
为斜边的等腰直角三角形,再由
,
,得到
.则
平面
.,再由面面平行的判断定理得到平面
平面
,从而得证。
(Ⅱ)建立如图所示空间直角坐标系,设,则
,
,
,
,
,得到
,
.求得平面
的一个法向量,再求得
的坐标,利用线面角的向量法求解。
(Ⅰ)
如图,分别取,
的中点M,N,连接
,
,
,
.
由题可知,
.设
,
易知,且
.
因为平面平面
,
所以平面
.同理
平面
.
所以.
因为平面
,
平面
,
故平面
.
因为,
,
所以.
因为,
所以,
所以是以
为斜边的等腰直角三角形,
所以,而
,则
.
因为平面
,
平面
,
所以平面
.
因为,
所以平面平面
.
因为平面
,所以
平面
.
(Ⅱ)
如图,连接,以P为原点,
,
所在直线分别为x轴,y轴,以过点P且垂直于平面
的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
设,
则,
,
,
,
,
所以,
.
设为平面
的一个法向量,
则即
取,则
,
,即
.
易知.
设直线与平面
所成的角为
.
故,
即直线与平面
所成角的正弦值为
.

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