题目内容

已知：f（x）=-sin²x+sinx+a
（Ⅰ）当f（x）=0有实数解时，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若x∈R恒有 $数学公式$ 成立，求实数a的取值范围．

解：（1）因为f（x）=0，即 $\text{[math]}$ ，a的最大值等于 $\text{[math]}$ =2，
a的最小值等于- $\text{[math]}$ ，所以， $\text{[math]}$ ．
（2）f（x）=-sin²x+sinx+a= $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
又∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，∴3≤a≤4．
所以，实数a的取值范围是[3，4]．
分析：（1）利用二次函数的性质及正弦函数的值域求出a的最大值和a的最小值，即得实数a的取值范围．
（2）f（x）配方后结合正弦函数的值域，求出 $\text{[math]}$ ，再根据 $\text{[math]}$ ，
得到 $\text{[math]}$ ，从而得到实数a的取值范围．
点评：本题考查三角函数的最值，函数的恒成立问题，以及正弦函数的有界性，得到 $\text{[math]}$ 是解题的难点．

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已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，在定义域x∈[-2，2]上表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线斜率均为-1．有以下命题：①f（x）是奇函数；②若f（x）在[s，t]内递减，则|t-s|的最大值为4；③f（x）的最大值为M，最小值为m，则M+m=0．④若对?x∈[-2，2]，k≤f'（x）恒成立，则k的最大值为2．其中正确命题的个数有（　　）

已知函数f（x）=e^xsinx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）如果对于任意的x∈[0，

]，f（x）≥kx总成立，求实数k的取值范围；
（3）设函数F（x）=f（x）+e^xcosx，x∈[-

，0）作函数F（x）图象的所有切线，令各切点的横坐标构成数列{x_n}，求数列{x_n}的所有项之和S的值．

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（3）当x∈（0，+∞）时，不等式f（x）+f′（x）+x³-2x²≥0恒成立，求实数a的取值范围．

已知函数f（x）=

+xlnx，g（x）=x³-x²-x-1．
（1）如果存在x，x∈[0，2]，使得g（x）-g（x）≥M，求满足该不等式的最大整数M；
（2）如果对任意的s，t∈[

，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．

（2013•惠州一模）已知函数f（x）=ax²+bx+1在x=3处的切线方程为y=5x-8．
（1）求函数f（x）的解析式；
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的整数部分．