题目内容
已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，在定义域x∈[-2，2]上表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线斜率均为-1．有以下命题：①f（x）是奇函数；②若f（x）在[s，t]内递减，则|t-s|的最大值为4；③f（x）的最大值为M，最小值为m，则M+m=0．④若对?x∈[-2，2]，k≤f'（x）恒成立，则k的最大值为2．其中正确命题的个数有（ ）
| A、1个 | B、2个 | C、3个 | D、4个 |
分析：首先利用导数的几何意义及函数f（x）过原点，列方程组求出f（x）的解析式；然后根据奇函数的定义判断函数f（x）的奇偶性，且由f′（x）的最小值求出k的最大值，则命题①④得出判断；最后令f′（x）=0，求出f（x）的极值点，进而求得f（x）的单调区间与最值，则命题②③得出判断．
解答：解：函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象过原点，可得c=0；
又f′（x）=3x2+2ax+b，且f（x）在x=±1处的切线斜率均为-1，
则有
，解得a=0，b=-4．
所以f（x）=x3-4x，f′（x）=3x2-4．
①可见f（x）=x3-4x是奇函数，因此①正确；
x∈[-2，2]时，[f′（x）]min=-4，则k≤f'（x）恒成立，需k≤-4，因此④错误．
②令f′（x）=0，得x=±
．
所以f（x）在[-
，
]内递减，则|t-s|的最大值为
，因此②错误；
且f（x）的极大值为f（-
）=
，极小值为f（
）=-
，两端点处f（-2）=f（2）=0，
所以f（x）的最大值为M=
，最小值为m=-
，则M+m=0，因此③正确．
故选B．
又f′（x）=3x2+2ax+b，且f（x）在x=±1处的切线斜率均为-1，
则有
|
所以f（x）=x3-4x，f′（x）=3x2-4．
①可见f（x）=x3-4x是奇函数，因此①正确；
x∈[-2，2]时，[f′（x）]min=-4，则k≤f'（x）恒成立，需k≤-4，因此④错误．
②令f′（x）=0，得x=±
2
| ||
| 3 |
所以f（x）在[-
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
4
| ||
| 3 |
且f（x）的极大值为f（-
2
| ||
| 3 |
16
| ||
| 9 |
2
| ||
| 3 |
16
| ||
| 9 |
所以f（x）的最大值为M=
16
| ||
| 9 |
16
| ||
| 9 |
故选B．
点评：本题主要考查导数的几何意义及利用导数研究函数单调性、最值的方法．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|