Question

已知函数f（x）=e^x-a（x-1），x∈R，其中a为实数．
（1）若实数a＞0，求函数f（x）在（0，+∞）上的极值．
（2）记函数g（x）f（2x），设函数y=g（x）的图象C与y轴交于P点，曲线C在P点处的切线与两坐标轴所围成的图形的面积为S（a），当a＞1时，求S（a）的最小值；
（3）当x∈（0，+∞）时，不等式f（x）+f′（x）+x³-2x²≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出函数的导数，对a进行讨论，分别判断函数的单调性，最后根据a的不同取值得出的结论综合即可；
（2）g（x）=f（2x）=e^2x-a（2x-1），计算出切线斜率，写出切线方程y-（1+a）=（2-2a）（x-0），求得在坐标轴上的截距，利用三角形的面积公式得到面积S（a）的表达式，最后利用基本不等式求此函数的最小值即可；
（3）利用分离参数法，借助于求函数的最值，可求实数a的取值范围．

解答：解：：（1）由f'（x）=e^x-a=0，得x=lna．
①当a∈（0，1]时，f'（x）=e^x-a＞1-a≥0（x＞0）．此时f（x）在（0，+∞）上单调递增．函数无极值．
②当a∈（1，+∞）时，lna＞0．
x变化时f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（0，lna）	lna	（lna，+∞）
f′（x）	-	0	=
f（x）	单减	极小值	单增

由此可得，函数有极小值且f（x）_极小=f（lna）=a-a（lna-1）=2a-alna．
（2）g（x）=f（2x）=e^2x-a（2x-1），g（0）=1+a
切线斜率为k=g'（0）=2-2a，切线方程y-（1+a）=（2-2a）（x-0），
由x=0，y=1+a，由y=0，x=

a+1

2(a-1)

∴S（a）=

1

2

×(a+1)×

a+1

2(a-1)

=

1

4

[（a-1）+

4

a-1

+4]≥2
当且仅当（a-1）²=4，即a=3时取等号．∴当a=3时，S（a）最小值为2．
（3）由已知不等式即为：2e^x+x³-2x²≥ax，
∴a≤

2ex

x

+x2-2x
令u（x）=

2ex

x

+x2-2x，则u′（x）=

2(x-1)(ex+2)

x2

∴x∈（0，1）时，u′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，u′（x）＞0
∴u（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增
∴x=1时，u（x）的最小值为2e-1
∴a≤2e-1．

点评：本题考查利用导数研究函数的极值，考查基本不等式的运用，考查分离参数法．解答关键是要对函数求导，做题时要注意对a进行讨论，最后得出函数的极值和单调区间．