题目内容

(本小题满分14分)
(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若m+n=s+t(m,n,s,t∈N*,且m≠n,s≠t),证明;=
(2)注意到(1)中Sn与n的函数关系,我们得到命题:设抛物线x2=2py(p>0)的图像上有不同的四点A,B,C,D,若xA,xB,xC,xD分别是这四点的横坐标,且xA+xB=xC+xD,则AB∥CD,判定这个命题的真假,并证明你的结论
(3)我们知道椭圆和抛物线都是圆锥曲线,根据(2)中的结论,对椭圆+ =1(a>b>0)提出一个有深度的结论,并证明之.
见解析
(1)利用等差数列的前N项公式易证等式成立;(2)根据平行得出斜率相等,再利用两点的斜率公式推导式子成立;(3)在椭圆中利用设而不求点差法的思想得出两点斜率的关系式,从而利用斜率相等得出两直线平行
(1)设等差数列的公差为

同理:
;…………3分
(2)设的斜率分别为,则
,即;……………………………………6分
(3)A类卷:能提出有深度的问题,并能严格证明,满分8分,如:
设椭圆图像上有不同的四点,若线段的中点连线经过原点,则.
证明:设:,线段的中点不在坐标轴上,且它们的连线经过原点,则

则:

所以:,即
又当中点在坐标轴上时,同时垂直这条坐标轴,成立.
B类卷:能模仿(2)提出问题,并能严格证明,满分6分,如:
椭圆图像上有不同的四点,设它们的坐标分别是
,若,则.
证明:设:,又


则:

所以:,即.
时,同时垂直轴,成立.
C类卷:简单模仿(2)提出问题,且不能证明,满分2分
椭圆图像上有四点,设它们的坐标分别是
,若,则.
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