题目内容
【题目】在平面直角坐标平面中, 的两个顶点为
,平面内两点
、
同时满足:①
;②
;③
.
(1)求顶点的轨迹
的方程;
(2)过点作两条互相垂直的直线
,直线
与点
的轨迹
相交弦分别为
,设弦
的中点分别为
.
①求四边形的面积
的最小值;
②试问:直线是否恒过一个定点?若过定点,请求出该定点,若不过定点,请说明理由.
【答案】(1);(2)①
的最小值的
,②直线
恒过定点
.
【解析】试题分析:(1)由可得
为
的重心,设
,则
,再由
,可得
为
的外心,
在
轴上,再由
∥
,可得
,结合
即可求得顶点
的轨迹
的方程;(2)
恰为
的右焦点.当直线
,
的斜率存在且不为0时,设直线
的方程为
.联立直线方程与椭圆方程,化为关于
的一元二次方程,利用根与系数的关系求得
的纵坐标得到和与积.①根据焦半径公式得
、
,代入四边形面积公式,再由基本不等式求得四边形
面积
的最小值;②根据中点坐标公式得
的坐标,得到直线
的方程,化简整理令
解得
值,可得直线
恒过定点;当直线
,
有一条直线的斜率不存在时,另一条直线的斜率为0,直线
即为
轴,过点(
.
试题解析:(1)∵
∴由①知
∴为
的重心
设,则
,由②知
是
的外心
∴在
轴上由③知
,由
,得
,化简整理得:
.
(2)解: 恰为
的右焦点,
①当直线的斜率存且不为0时,设直线
的方程为
,
由,
设则
,
①根据焦半径公式得,
又,
所以,同理
,
则,
当,即
时取等号.
②根据中点坐标公式得,同理可求得
,
则直线的斜率为
,
∴直线的方程为
,
整理化简得,
令,解得
∴直线恒过定点
,
②当直线有一条直线斜率不存在时,另一条斜率一定为0,直线
即为
轴,过点
,
综上, 的最小值的
,直线
恒过定点
.
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