Question

【题目】在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF＝90°，AD＝2，AB＝AF＝2EF＝2，点P在棱DF上．

（1）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值；

（2）若二面角D﹣AP﹣C的正弦值为，求PF的长度．

Answer 1

【答案】（1）．（2）．

【解析】

（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系，则（﹣1，0，2），（﹣2，﹣1，1），计算夹角得到答案.

（2）设，0≤λ≤1，计算P（0，2λ，2﹣2λ），计算平面APC的法向量（1，﹣1，），平面ADF的法向量（1，0，0），根据夹角公式计算得到答案.

（1）∵BAF＝90°，∴AF⊥AB，

又∵平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD＝AB，

∴AF⊥平面ABCD，又四边形ABCD为矩形，

∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系，

∵AD＝2，AB＝AF＝2EF＝2，P是DF的中点，

∴B（2，0，0），E（1，0，2），C（2，2，0），P（0，1，1），

（﹣1，0，2），（﹣2，﹣1，1），

设异面直线BE与CP所成角的平面角为θ，

则cosθ，

∴异面直线BE与CP所成角的余弦值为．

（2）A（0，0，0），C（2，2，0），F（0，0，2），D（0，2，0），

设P（a，b，c），，0≤λ≤1，即（a，b，c﹣2）＝λ（0，2，﹣2），

解得a＝0，b＝2λ，c＝2﹣2λ，∴P（0，2λ，2﹣2λ），

（0，2λ，2﹣2λ），（2，2，0），

设平面APC的法向量（x，y，z），

则，取x＝1，得（1，﹣1，），

平面ADP的法向量（1，0，0），

∵二面角D﹣AP﹣C的正弦值为，

∴|cos|，

解得，∴P（0，，），

∴PF的长度|PF|．