题目内容
【题目】如图,已知曲线,曲线
,
是平面上一点,若存在过点
的直线与
都有公共点,则称
为“
型点”.
(1)证明: 的左焦点是“
型点”;
(2)设直线与
有公共点,求证:
,进而证明原点不是“
型点”;
(3)求证: 内的点都不是“
型点”.
【答案】(1) ;(2)见解析;(3)见解析.
【解析】试题分析:(1)由题意的左焦点为
,过
的直线
与
、
交于
,即可判定,得出直线方程;
(2)联立方程组和
,根据方程有解,即可求解
的范围,从而判断原点不是“
型点”;
(3)以为边界的正方形区域记为
,分点
在
的边界上,和
是区域
内的点,两种情况分类讨论,进而说明
,联立方程组,得出
,得出直线与曲线没有公共点,从而证得结论.
试题解析:
(1)的左焦点为
,
过的直线
与
交于
,与
交于
,故
的左焦点为“
型点”,且直线可以为
;
(2)直线与
有交点,则
,
若方程组有解,则必须;
直线与
有交点,则
,
若方程组有解,则必须
故直线至多与曲线
和
中的一条有交点,即原点不是“
型点”
(3)以为边界的正方形区域记为
.
1)若点在
的边界上,则该边所在直线与
相切,与
有公共部分,即
边界上的点都是“
型点”;
2)设是区域
内的点,即
,
假设是“
型点”,则存在过点
的直线
与
都有公共点.
ⅰ)若直线与
有公共点,直线
的方程化为
,假设
,则
,
可知直线在
之间,与
无公共点,这与“直线
与
有公共点”矛盾,所以得到:与
有公共点的直线
的斜率
满足
.
ⅱ)假设与
也有公共点,则方程组
有实数解.
从方程组得,
,由
,
因为
所以, ,即直线
与
没有公共点,与“直线
与
有公共点”矛盾,于是可知
不是“
型点”.
证明完毕
另解:
令,因为
,所以|
,即
.于是可知
的图像是开口向下的抛物线,且对称轴方程为是
,因为
,
所以在区间
上为增函数,在
上为减函数.
因为,
,所以对任意
,都有
,即直线
与
没有公共点,与“直线
与
有公共点”矛盾,于是可知
不是“
型点”.
证明完毕.
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