题目内容
【题目】如图,在三棱锥中,
是正三角形,
,
.
(1)证明:平面平面
;
(2) 为
的中点,
,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】试题分析:(1)取的中点
,连结
,由等腰三角形得
,
,由线面垂直判定定理可得
平面
,故而
,结合
,故可得
平面
,由面面垂直判定定理可得结果;(2)建立如图空间直角坐标系
.设
,求出面
的法向量
,同时可取面
的法向量
,计算出向量夹角即可.
试题解析:(1)取的中点
,连结
,因为
,所以
.又因为
是正三角形,所以
,所以
平面
.所以
.又
,故
平面
.因为
平面,所以平面
平面
.
(2)取的中点
,连结
,则
,由(1)可得
平面
. 建立如图空间直角坐标系
.设
,则
,
,
,由
为
的中点,得
.所以
,
.设
为平面
的法向量,则
,可取
,设
为平面
的法向量,可取
.则
,所以二面角
的余弦值为
.
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