题目内容
【题目】如图，在三棱锥
中， 
是正三角形， 
， 
.
(1)证明:平面
平面
；
(2) 
为
的中点， 
，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】试题分析：（1）取
的中点
，连结
，由等腰三角形得
， 
，由线面垂直判定定理可得
平面
，故而
，结合
，故可得
平面
，由面面垂直判定定理可得结果；（2）建立如图空间直角坐标系
.设
，求出面
的法向量
，同时可取面
的法向量
，计算出向量夹角即可.
试题解析：（1）取
的中点
，连结
，因为
，所以
．又因为
是正三角形，所以
，所以
平面
.所以
．又
，故
平面
．因为
平面，所以平面
平面
．
（2）取
的中点
，连结
，则
，由（1）可得
平面
. 建立如图空间直角坐标系
.设
，则
， 
， 
，由
为
的中点，得
.所以
， 
.设
为平面
的法向量，则
，可取
，设
为平面
的法向量，可取
.则
，所以二面角
的余弦值为
.
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