题目内容
【题目】已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率等于,它的一个顶点恰好在抛物线的准线上.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程.
(Ⅱ)点,在椭圆上,,是椭圆上位于直线两侧的动点.
(i)若直线的斜率为,求四边形面积的最大值.
(ii)当,运动时,满足,试问直线的斜率是否为定值,请说明理由.
【答案】(1),(2)直线的斜率为定值.
【解析】
试题(Ⅰ)由题,得b=2,又,,联立计算得出即可.
(Ⅱ)(i)设,,直线的方程为,与椭圆方程联立化为,由,计算得出, ,利用根与系数的关系可得: .四边形APBQ面积,可求得面积最值.
(ii)由,则PA,PB的斜率互为相互数,可设直线PA的斜率为k,则PB的斜率为-k,直线PA的方程为:,与椭圆的方程联立化为,利用根与系数的关系、斜率计算公式即可求解.
试题解析:
(Ⅰ)设椭圆的标准方程为,
∵ 椭圆的一个顶点恰好在抛物线的准线上,
∴,即,
又∵ ,,
∴,,
故椭圆的标准方程为.
(Ⅱ)(i)设,,直线的方程为,
联立,得,
由,计算得出,
∴,,
∴ ,
∴ 四边形的面积,
当时,.
(ii)∵ ,则,的斜率互为相反数,可设直线的斜率为,
则的斜率为,直线/span>的方程为:,
联立,得,
∴,
同理可得:,
∴,,
,
∴直线的斜率为定值.
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