Question

已知二次函数同时满足：①不等式的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在，使得不等式成立,设数列的前项和。
（1）求函数的表达式；
（2）求数列的通项公式；
（3）设各项均不为的数列中，所有满足的整数的个数称为这个数列的变号数，令（）,求数列的变号数.

Answer 1

20．解：
（Ⅰ）∵不等式≤0的解集有且只有一个元素 ∴　解得或
当时，函数在递增，不满足条件②
当时，函数在（０，２）上递减，满足条件②
综上得，即
（Ⅱ）由（Ⅰ）知   当时，
当≥２时＝＝    ∴
（Ⅲ）由题设可得∵，，∴，都满足    ∵当≥３时，
即当≥３时，数列｛｝递增，∵，由，
可知满足    ∴数列｛｝的变号数为３.

略