题目内容
在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：2x2-y2=1。
（1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若
，求点M的坐标；
（2）过C的左焦点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；
（3）设斜率为k（
）的直线l交C于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ。
（1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若
，求点M的坐标；（2）过C的左焦点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；
（3）设斜率为k（
）的直线l交C于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ。解：（1）双曲线C1：
的左焦点F（-
），设M（x，y），
则|MF|2=（x+
）2+y2，
由M点是右支上的一点，可知x≥
，
所以|MF|=
=2
，得x=
，
所以M（
）。
（2）左顶点A（-
），渐近线方程为：y=±
x
过A与渐近线y=
x平行的直线方程为y=
（x+
），即y=
，
所以
，解得
所以所求平行四边形的面积为S=
。
（2）设直线PQ的方程为y=kx+b，因直线PQ与已知圆相切，故
，
即b2=k2+1…①，
由
，得（2-k2）x2-2bkx-b2-1=0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则
，
又y1y2=（kx1+b）（kx2+b）
所以
=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+kb（x1+x2）+b2=
=
由①式可知
，故PO⊥OQ。
的左焦点F（-），设M（x，y），则|MF|2=（x+
）2+y2，由M点是右支上的一点，可知x≥
，所以|MF|=
=2，得x=，所以M（
）。（2）左顶点A（-
），渐近线方程为：y=±x过A与渐近线y=
x平行的直线方程为y=（x+），即y=，所以
，解得所以所求平行四边形的面积为S=
。（2）设直线PQ的方程为y=kx+b，因直线PQ与已知圆相切，故
，即b2=k2+1…①，
由
，得（2-k2）x2-2bkx-b2-1=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则
，又y1y2=（kx1+b）（kx2+b）
所以
=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+kb（x1+x2）+b2==由①式可知
，故PO⊥OQ。
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