Question

【题目】已知函数f（x）=ex﹣mx，
（1）求函数f（x）的单调区间．
（2）若函数g（x）=f（x）﹣lnx+x2存在两个零点，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=ex﹣m，

若m≤0，则f′（x）＞0恒成立，

f（x）在R递增，无递减区间；

m＞0时，由f′（x）=0，得：x=lnm，

令f′（x）＞0，解得：x＞lnm，

令f′（x）＜0，解得：x＜lnm，

故f（x）在（﹣∞，lnm）递减，在（lnm，+∞）递增

（2）解：由g（x）=f（x）﹣lnx+x2=0，

得m= ，

令h（x）= ，

则h′（x）= ，

观察得x=1时，h′（x）=0．

当x＞1时，h′（x）＞0，

当0＜x＜1时，h′（x）＜0，

∴h（x）min=h（1）=e+1，

∴函数g（x）=f（x）﹣lnx+x2存在两个零点时，m的取值范围是（e+1，+∞）

【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间即可；（2）由g（x）=f（x）﹣lnx+x2=0，分离出m，令h（x）= ，由此能求出函数g（x）=f（x）﹣lnx+x2存在两个零点时m的取值范围．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．