题目内容
【题目】已知椭圆的焦点坐标是
，
，过点
垂直于长轴的直线交椭圆与
，
两点，且
.
（1）求椭圆方程：
（2）过坐标原点
做两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于
，
两点，求证：点到直线
的距离为定值.
【答案】（1）
；（2）点
到直线
的距离为定值，此定值为
.
【解析】
（1）根据题意知
，
，利用
即可得解；
（2）分两种情况进行讨论：当直线的斜率不存在时，可设
，
，再由
，
在椭圆上，可求得
，此时易求点到直线的距离；当直线的斜率存在时，设直线的方程为
，与椭圆方程联立，利用
得
，结合韦达定理，化简即可得到
，
的关系式，再根据点到直线距离即可得解.
（1）设椭圆方程为
，
由焦点坐标得，由
，可得，
又，所以
，
，
故椭圆方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，此时可设，，
又，两点在椭圆上，
所以
，解得
，
所以点到直线的距离为
；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由
得
，
设
，
，则
，
，
因为，所以，
所以
即
，
所以
，
整理得
，满足
，
所以点到直线的距离为
为定值.
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（Ⅰ）根据上表提供的数据，求出关于的线性回归方程
；
（Ⅱ）在该商品进货量（吨）不超过
（吨）的前提下任取两个值，求该商品进货量（吨）恰有一个值不超过
（吨）的概率.
参考公式和数据：
，
.
，
.
