Question

【题目】如图，在直角梯形SABC中，∠B=∠C= ，D为边SC上的点，且AD⊥SC，现将△SAD沿AD折起到达PAD的位置（折起后点S记为P），并使得PA⊥AB．
（1）求证：PD⊥平面ABCD；
（2）已知PD=AD，PD+AD+DC=6，G是AD的中点，当线段PB取得最小值时，则在平面PBC上是否存在点F，使得FG⊥平面PBC？若存在，确定点F的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵PA⊥AB，AB⊥AD，PA⊥AD=A，

∴AB⊥平面PAD，

∵PD平面PAD，

∴AB⊥PD，

∵PD⊥AD，AD∩AB=A，

∴PD⊥平面ABCD

（2）解：设PD=x，则AD=x，DC=6﹣2x，

∴PB2=x2+x2+（6﹣2x）2=6（x﹣2）2+12，当且仅当x=2时，PB2取得最小值，

即PB取得最小值，

取PC的中点M，PB的中点N，

则DM⊥平面PBC，

∵四边形DMNG是平行四边形，

∴GN∥DM，

GN⊥平面PBC，

∴在平面PBC上存在点F，即PB的中点，使FG⊥平面PBC．

【解析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明PD⊥平面ABCD；（2）根据线面垂直的判定定理以及直线平行的性质进行证明即可．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能正确解答此题．